Exercice 1

Soit \(f\) la fonction carré définie sur \(\mathrm{R}\) : \(f :x \longmapsto x^2\)

Question

1/ Calculer les images par f des nombres réels suivants :

  • 4

  • 10

  • \(\sqrt{2}\)

  • -3

  • \(-\sqrt{5}\)

  • \(2\sqrt{3}\)

  • \(-3\sqrt{5}\)

  • \(\frac{1}{2}\)

  • \(\frac{-2}{3}\)

  • \(1+\sqrt{5}\)

  • \(\sqrt{8}-\sqrt{6}\)

  • \(1-\sqrt{2}\)

Solution

Solution

  • \(f(4)=4^2=16\)

  • \(f(10)=10^2=100\)

  • \(f(\sqrt{2})=\sqrt{2}^2=2\)

  • \(f(-3)=(-3)^2=9\)

  • \(f(-\sqrt{5})=\sqrt{5}^2=5\)

  • \(f(2\sqrt{3})=(2\sqrt{3})^2=2^2 \times \sqrt{3}^2=4 \times 3=12\)

  • \(f(-3\sqrt{5})=(-3\sqrt{5})^2=9 \times 5=45\)

  • \(f( \frac{1}{2})=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\)

  • \(f(\frac{-2}{3})=(\frac{-2}{3})^2=\frac{4}{9}\)

  • \(f(1+\sqrt{5})=(1+\sqrt{5})^2=1^2+2 \times 1 \times \sqrt{5}+\sqrt{5}^2=1+2\sqrt{5}+5=6+\sqrt{5}\)

  • \(f(\sqrt{8}-\sqrt{6})=(\sqrt{8}-\sqrt{6})^2=\sqrt{8}^2-2 \times \sqrt{8} \times \sqrt{6}+\sqrt{6}^2=8-2\sqrt{48}+6=14-8\sqrt{3}\)

  • \(f(1-\sqrt{2})=(1-\sqrt{2})^2=1-2 \times 1 \times \sqrt{2}+ \sqrt{2}^2=3-2\sqrt{2}\)

Question

2/ Déterminer lorsque c'est possible les antécédents par la fonction carré des nombres réels suivants :

  • 1

  • 4

  • -1

  • -9

  • 0

  • 100

  • \(\frac{25}{100}\)

  • \(\frac{9}{4}\)

  • \(\frac{-16}{25}\)

  • 2

  • 3

Indice

Résoudre des équations du type \(x^2=a\).

  • Si \(a>0\), l'équation admet deux solutions : \(S=\{-\sqrt{a} ;\sqrt{a}\}\)

  • Si \(a=0\), l'équation admet une seule solution : \(S=\{0\}\)

  • Si \(a<0\), l'équation n'admet pas de solution.

Solution

Solution

  • \(f(x)=1 \Longleftrightarrow x^2=1 \Longleftrightarrow x=1$ ou $x=-1\). Donc \(f(-1)=f(1)=1\)

  • \(f(x)=4 \Longleftrightarrow x^2=4 \Longleftrightarrow x=2$ ou $x=-2\). Donc \(f(-2)=f(2)=4\)

  • \(f(x)=-1 \Longleftrightarrow x^2=-1\). Donc \(-1\) n'admet aucun antécédent réel.

  • \(f(x)=-9 \Longleftrightarrow x^2=-9\). Donc \(-9\) n'admet aucun antécédent réel.

  • \(f(x)=0 \Longleftrightarrow x^2=0 \Longleftrightarrow x=0\). Donc \(f(0)=0\)

  • \(f(x)=100 \Longleftrightarrow x^2=100 \Longleftrightarrow x=10$ ou $x=-10\). Donc \(f(-10)=f(10)=100\)

  • \(f(x)=\frac{25}{100} \Longleftrightarrow x^2=\frac{25}{100} \Longleftrightarrow x=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\) ou \(x=-\frac{5}{10}=-\frac{1}{2}\).

    Donc \(f(-\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}=\frac{25}{100}\)

  • \(f(x)=\frac{9}{4} \Longleftrightarrow x^2=\frac{9}{4} \Longleftrightarrow x=\frac{3}{2}\) ou \(x=-\frac{3}{2}\).

    Donc \(f(-\frac{3}{2})=f(\frac{3}{2})=\frac{9}{4}\)

  • \(f(x)=\frac{-16}{25} \Longleftrightarrow x^2=-\frac{16}{25}\). Donc \(\frac{-16}{25}\) n'admet pas d'antécédent réel.

  • \(f(x)=2 \Longleftrightarrow x^2=2 \Longleftrightarrow x=\sqrt{2}$ ou $x=-\sqrt{2}\). Donc \(f(-\sqrt2)=f(\sqrt2)=2\)

  • \(f(x)=3 \Longleftrightarrow x^2=3 \Longleftrightarrow x=\sqrt{3}$ ou $x=-\sqrt{3}\). Donc \(f(-\sqrt3)=f(\sqrt3)=3\)

Exercice 3

  1. Dresser le tableau de variation de la fonction f définie sur \([-2 ;4]\) par \(f(x)=x^2\).

  2. Comparer sans calculer \(f(-1)\) et \(f(\frac{-1}{2})\).

  3. Comparer sans calculer \(f(\sqrt{2})\) et \(f(1)\).