Alignement de points
On considère dans un repère les points :
A(1 ;-1), B(3 ;5), C(4 ;8)
Question
En utilisant les équations de droites, démontrer par deux méthodes que A,B et C sont alignés.
Indice
méthode 1 : montrer que (AB) et (AC) sont parallèles.
Indice
méthode 2 : montrer que C appartient à la droite (AB).
Solution
Méthode : Méthode 1
On calcule les coefficients directeurs des droites (AB) et (AC) ayant remarqué que les points A,B et C ont des abscisses différentes.
A et B n'ont pas la même abscisse donc on peut calculer le coefficient directeur de (AB) :
\(a_{(AB)}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\)
\(a_{(AB)}=\dfrac{5-(-1)}{3-1}=3\)
A et C n'ont pas la même abscisse donc on peut calculer le coefficient directeur de (AC) :
\(a_{(AC)}=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}\)
\(a_{(AC)}=\dfrac{8-(-1)}{4-1}=3\)
(AB) et (AC) ont le même coefficient directeur (3) donc (AB)//(AC). Les deux droites ayant le point A en commun, elles sont confondues. Donc les points A, B et C sont alignés.
Méthode : Méthode 2
On détermine l'équation de la droite (AB).
A et B n'ont pas la même abscisse donc on peut calculer le coefficient directeur de (AB).
\(a_{(AB)}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\)
\(a_{(AB)}=\dfrac{5-(-1)}{3-1}=3\)
(AB) a donc pour équation \(y=3x+b\) où b est encore inconnu.
Mais on sait que \(A\in(AB)\) donc ses coordonnées vérifient l'équation de (AB) : \(y_A=3x_A+b\)
Par conséquent \(-1=3\times 1+b\)
donc \(-1=3+b\)
soit \(b=-4\)
(AB) a donc pour équation \(y=3x-4\)
Reste à déterminer si les coordonnées de C vérifient l'équation de (AB) :
\(3\times x_C-4=3\times 4-4=12-4=8=y_C\)
Les coordonnées de C vérifient l'équation de (AB) donc A,B et C sont alignés.
Remarque : Quelle méthode choisir ?
On peut constater sur cet exemple que la méthode 2 est un peu plus longue pour déterminer l'alignement de 3 points du fait du calcul complet de l'équation de (AB). Néanmoins, une fois l'équation de (AB) déterminée, le test pour savoir si un point est sur la droite est plus rapide qu'avec la méthode 1.
La méthode 1 se révélera efficace pour tester l'alignement de 3 points alors que la méthode 2 sera avantageuse souvent lorsqu'on aura 4 points ou plus à tester.
On aurait pu aussi utiliser une 3ème méthode en se rappelant le chapitre sur les vecteurs :
Il suffisait de démontrer que les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.