Équations de droite
Exemple :
Dans un repère \((O ;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j})\), considérons le point \(A(1 ;2)\) et \(\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}2\\-1\end{array}\right)\).
Cherchons la condition portant sur les coordonnées de \(M(x ;y)\) pour que \(M\) appartienne à la droite \(d\) passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) :
\(M\in d \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont colinéaires \(\Leftrightarrow (x-1)\times (-1)-(y-2) \times 2=0 \Leftrightarrow -x-2y+3=0\).
On dit alors que \(-x-2y+3=0\) est une équation cartésienne de la droite d.
C'est une condition nécessaire et suffisante pour qu'un point appartienne à cette droite.
Fondamental :
Dans un repère :
Toute droite a une équation cartésienne de la forme \(ax+by+c=0\), avec \(a\neq0\) ou \(b\neq0\).
Le vecteur \(\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-b\\a\end{array}\right)\) est alors un vecteur directeur de d.
Elle n'est pas unique, car il suffit de multiplier les membres de gauche et de droite par un même coefficient pour obtenir une autre équation.
Soient a, b, c trois nombres tels que \(a\neq0\) ou \(b\neq0\). L'ensemble des points \(M(x ;y)\) du plan dont les coordonnées vérifient \(ax+by+c=0\) est une droite, de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}-b\\a\end{array}\right)\).
Complément : Démonstration
Choisissons un point \(A(x_0 ;y_0)\) sur la droite d, et notons \(\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}p\\q\end{array}\right)\) un vecteur directeur de d.
Par définition, \(\overrightarrow{u}\neq\overrightarrow{0}\), donc \(p\neq0\) ou \(q\neq0\).
« \(M(x ;y)\) est un point de d »
équivaut à« \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont colinéaires »
.\(\overrightarrow{AM}\) a pour coordonnées \((x-x_0 ;y-y_0)\).
Donc, d'après la caractérisation de vecteurs colinéaires, la colinéarité de \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{u}\) équivaut à \((x-x_0)q-(y-y_0)p=0\) soit \(qx-py-qx_0+py_0=0\).
Si on pose \(a=q\), \(b=-p\) et \(c=py_0-qx_0\), cette condition s'écrit \(ax+by+c=0\).
Finalement, dire que \(M\in d \) est équivalent à dire qu'il existe trois nombres a, b et c tels que \(ax+by+c=0\), avec \(a\neq0\) ou \(b\neq0\).
Cherchons l'ensemble des points \(M(x ;y)\) du plan vérifiant \(ax+by+c=0\), avec \(a\neq0\) ou \(b\neq0\).
Si \(b\neq0\), \(ax+by+c=0\) équivaut à \(y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}\). C'est l'équation réduite d'une droite non parallèle à l'axe des ordonnées.
Si \(b=0\), alors \(a\neq0\), donc \(ax+by+c=0\) est équivalent à \(x=-\frac{c}{a}\). Il s'agit d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées
Remarque : Lien entre équation cartésienne et équation réduite
En seconde, nous avons vu qu'une droite avait une équation de la forme \(y=mx+p\) si elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, et de la forme \(x=a\) si elle l'est.
Dans le premier cas, une équation cartésienne est \(mx-y+p=0\) et on obtient donc comme vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}1\\m\end{array}\right) \).
Ainsi, dire que m est le coefficient directeur de d équivaut à dire que \(\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}1\\m\end{array}\right)\) est un vecteur directeur de d.
Dans le cas d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées, l'équation cartésienne est \(x-a=0\). Un vecteur directeur est \(\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)\) de direction parallèle à l'axe des ordonnées.