Soit ABC un rectangle quelconque, et I et J les milieux respectifs de [AB] et [AC].
Question
Déterminer l'équation cartésienne de la droite (IJ) dans le repère \(\left(A ;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC}\right)\).
Indice
Déterminer les coordonnées de A, B, C, I, et J dans ce repère.
Indice
Déterminer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{IJ}\).
Solution
A(0 ;0), B(1 ;0), C(0 ;1), \(I\left(\frac{1}{2} ; 0\right)\) et\(J\left( 0 ;\frac{1}{2}\right)\).
Ainsi, \(\overrightarrow{IJ}\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}\end{array}\right) \).
Le vecteur \(\overrightarrow{IJ}\) est un vecteur directeur de (IJ), donc une équation cartésienne de (IJ) est :
\(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+c=0\).
Il suffit de déterminer \(c\) en écrivant que \(I\in\) (IJ) donc ses coordonnées vérifient l'équation de la droite :
\(\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times0+c=0\), donc \(c=-\frac{1}{4}\).
D'où l'équation :
\((IJ) : \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{4}=0\)
Question
Sans calcul, déterminer les équations des droites (AB) et (AC), puis vérifier par le calcul.
Solution
(AB) : y=0
(AC) : x=0