Autre indicateur de position : la moyenne
Définition : Moyenne
La moyenne de la série statistique considérée dans le paragraphe est le nombre \(\bar{x}\), tel que :
\(\bar{x}=\dfrac{n_1x_1 + n_2x_2 + \ldots + n_px_p}{n_1 + n_2 + \ldots + n_p}=\frac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^{p} n_i x_i\)
Remarque :
La moyenne est très sensible aux valeurs extrêmes.
Complément : Propriétés de linéarité
La moyenne possède des propriétés arithmétiques :
Si on ajoute le même nombre \(c\) à toutes les valeurs \(x_i\) de la série, alors la moyenne de la série obtenue augmente également de c et devient \(\bar{x}+c\).
Si on multiplie toutes les valeurs \(x_i\) de la série par un même nombre \(k\) , alors la moyenne de la série obtenue est également multipliée par ce nombre et devient \(k\times \bar{x}\).
Si on applique à toutes les valeurs \(x_i\) de la série (de moyenne \(\bar{x}\)) une fonction affine (multiplication par une constante \(a\)puis ajout d'une autre constante\(b\)), alors la moyenne de la série obtenue est \(a\bar{x}+b\).
Moyenne à partir de moyennes de sous-séries :
Si une série statistique partagée en p sous-séries disjointes de moyennes et d'effectifs respectifs \((\bar{x_1} ;n_1)\), \((\bar{x_2} ;n_2)\),..., \((\bar{x_p} ;n_p)\) a pour moyenne :
\(\bar{x}=\frac {n_1 x_1+ n_2 x_2+...+n_p x_p}{n_1+n_2+...+n_p}=\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{p}{n_i x_i}}{\sum_{i=1}^{p}{n_i}}\)
Exemple : Une entreprise emploie 150 ouvriers de salaire moyen 1800€, 12 cadres de salaire moyen
2900€ et 3 cadres supérieurs de salaire moyen 4600€.
Le salaire moyen dans l'entreprise est :
\(\frac{150\times1800 + 12\times2900 + 3\times4600}{150 + 12 + 3}= 1931\)€.