Nouvel indicateur de dispersion : Variance et écart type
Définissons \(f(t)\) par \(f(t)=\frac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=}^{p}n_i (x_i-t)^2\).
Cette fonction est minimale pour \(t=\bar{x}\).
Définition : Variance d'une série statistique
La variance d'une série statistique est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne de la série.
Autrement dit, pour la série considérée dans le paragraphe la variance est le nombre réel noté \(V\), tel que :
\(V=\dfrac{n_1(x_1-\bar{x})^2 + n_2(x_2-\bar{x})^2 + \ldots + n_p(x_p-\bar{x})^2}{n_1 + n_2 + \ldots + n_p}=\frac{1}{N}\displaystyle\sum_{i=1}^p n_i(x_i-\bar{x})²\)
Remarque :
La variance fait intervenir une somme composée de carrés. C'est donc un nombre réel toujours positif.
La variance ne s'exprime pas dans la même unité que les valeurs de la série car elle fait intervenir les carrés des écarts à la moyenne.
Afin de se ramener à des grandeurs comparables aux valeurs de la série, on a souvent recours à l'écart-type.
Définition : Ecart type d'une série statistique
L'écart type d'une série statistique est la racine carrée de sa Variance.
Autrement dit, pour la série considérée dont la variance est notée V, l'écart type est le nombre noté \(\sigma\) tel que :
\(\sigma=\sqrt{V}\)
Remarque :
L'écart type s'exprime alors dans la même unité que les valeurs de la série.