Variable aléatoire discrète
L'exemple que l'on vient de voir introduit une nouvelle notion : la notion de variable aléatoire discrète.
Définition : Variable aléatoire discrète
Soit \(\Omega = \{x_1; x_2; ...; x_n\}\) l'univers fini d'une expérience aléatoire.
Une variable aléatoire \(X\) sur \(\Omega\) est une fonction qui, à chaque issue de \(\Omega\), associe un nombre réel.
Complément : Notation
Si x est un réel, l'événement « X prend la valeur x » est noté \((X = x)\), il est formé de toutes les issues de Ω ayant pour image x.
Pour décrire complètement une variable aléatoire discrète, on utilise souvent un tableau dont la première ligne correspond aux issues de l'univers et la seconde ligne est la probabilité associée. Ce tableau est la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
Définition : Loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète
Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs \({x_1; x_2; ...; x_n}\). Lorsqu'à chaque valeur \(x_i\),
on associe la probabilité de l'événement \((X = x_i)\) , on définit la loi de probabilité de X.
\(x_i\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(...\) | \(x_n\) |
\(P(X=x_i)\) | \(p_1=P(X=x_1)\) | \(p_2=P(X=x_2)\) | \(...\) | \(p_n=P(X=x_n)\) |
Remarque : Vérification
Il existe un moyen simple de savoir si le tableau donnant la loi de probabilité d'une variable aléatoire est complet : on vérifie que
\(P (X = x_1) + P (X = x_2) + ... + P (X = x_n) = 1\).
Méthode : Méthode à connaître
Pour déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire X :
on détermine les valeurs \(x_i\) que peut prendre X ;
on calcule les probabilités \(P (X = x_i )\) ;
on résume les résultats dans un tableau.