Ne perd pas la boule...
Une urne comprend une boule verte (V), une boule bleue (B) et deux boules rouges (R1 et R2). On tire au hasard une boule, puis une deuxième sans avoir remis la première.
Question
Recopier et compléter l'arbre ci-contre afin de déterminer l'univers associé à cette expérience aléatoire.
Solution
L'univers associé à cette expérience est \(\Omega = \{ VB, VR_{1},VR_{2}, BV, BR_{1}, BR_{2}, R_{1}V, R_{1}B, R_{1}R_{2}, R_{2}V, R_{2}B, R_{2}R_{1} \} \)
L'univers possède donc 12 issues.
Question
Quelle est la probabilité de chaque issue ?
Solution
Chacune des 12 issues est équiprobable. Du coup, chaque issue possède une probabilité égale à \(\dfrac 1{12}\). On peux aussi multiplier les probabilités sur les branches.
On joue à présent un peu d'argent :
Une boule bleue ne rapporte rien et ne fait rien perdre
une boule verte rapporte 2 euros
chaque boule rouge fait perdre 1,5 euro.
Question
On s'intéresse au gain algébrique X (positif ou négatif) que peut obtenir un joueur à ce jeu. Quelles sont les valeurs possibles pour le gain ?
Solution
En observant les 12 issues que l'on a énumérées, on s'aperçoit qu'il n'y a que 4 scénarios possibles :
On peut perdre 3 euros ou 1,5 euro
On peut gagner 0,5 euro ou deux euros
La valeur algébrique du gain possible est donc X=-3, X=-1,5, X=+0,5 ou X=+2
Question
Recopier et compléter le tableau.
Événement | (X=-3) | (X=-1,5) | (X=0,5) | (X=2) |
|---|---|---|---|---|
Issues favorables |
Solution
Les issues étaient : \(\Omega = \{ VB, VR_{1},VR_{2}, BV, BR_{1}, BR_{2}, R_{1}V, R_{1}B, R_{1}R_{2}, R_{2}V, R_{2}B, R_{2}R_{1} \}\). Il suffit donc de les répartir dans le tableau en fonction des gains.
Événement | (X=-3) | (X=-1,5) | (X=0,5) | (X=2) |
|---|---|---|---|---|
Issues favorables | \(R_{1}R_{2},R_{2}R_{1}\) | \(BR_{1},BR_{2},R_{1}B,R_{2}B\) | \(VR_{1},VR_{2},R_{1}V,R_{2}V\) | \(VB,BV\) |
On vérifie bien au final que le tableau contient bien les 12 issues de notre univers de départ.
Question
Calculer la probabilité, notée \(P (X = −3)\), que le joueur perde 3 euros.
Solution
L'événement \((X=-3)\) possède deux issues sur 12 que comporte notre univers au total.
De plus, notre univers est équiprobable puisque chaque boule est indiscernable lors du tirage.
On sait donc qu'en situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement est le rapport entre le nombre d'issues dans cet événement sur le nombre d'issues au total.
\(P(X=-3)=\dfrac{2}{12}=\dfrac 1 6\)
Question
Recopier et compléter le tableau ci-dessous.
\(x_i\) | \(-3\) | \(-1,5\) | \(0,5\) | \(2\) |
\(P(X=x_i)\) |
Solution
\(x_i\) | \(-3\) | \(-1,5\) | \(0,5\) | \(2\) |
\(P(X=x_i)\) | \(\dfrac 1 6\) | \(\dfrac 1 3\) | \(\dfrac 1 3\) | \(\dfrac 1 6\) |
On vérifie que la somme des probabilités de ce tableau vaut bien 1 : \(\dfrac 1 6+\dfrac 1 3+\dfrac 1 3+\dfrac 1 6=1\)