Étudier une variable aléatoire
Une urne contient cinq jetons indiscernables au toucher numérotés de 1 à 5. Un joueur participe à la loterie en payant 2 €, ce qui lui donne le droit de prélever au hasard un jeton dans l'urne.
Si le numéro est pair, il gagne en euros le double de la valeur indiquée par le jeton.
Si le numéro est impair, il perd sa mise.
Soit X la variable aléatoire égale au « gain algébrique ».
Question
Déterminer la loi de probabilité de X.
Indice
On se posera les questions suivantes :
Quel est l'univers ?
Quelle est la probabilité de chaque issue ?
Quelles sont les valeurs possibles prises par X ?
Solution
L'univers est l'ensemble des 5 jetons. \(\Omega=\{J_1, J_2, J_3, J_4, J_5\}\).
Ces jetons étant indiscernables, Les cinq issues sont équiprobables.
Les jetons 1, 3 et 5 font perdre 2 euros ;
le jeton 2 fait gagner \(2\times 2−2=2\) euros;
le jeton 4 fait gagner \(4\times 2−2=6\) euros.
La variable aléatoire X prend donc les valeurs -2, 2 et 6
Résumons dans un tableau la loi de probabilité de X
\(x_i\) | -2 | 2 | 6 |
\(P(X=x_i)\) | \(\dfrac 3 5\) | \(\dfrac 1 5\) | \(\dfrac 1 5\) |
On vérifie bien que \(\dfrac 3 5+\dfrac 1 5+\dfrac 1 5\)