Limite d'un produit
Fondamental :
\(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n\) | \(\ell\in\mathbb R\) | \(\ell>0\) | \(\ell<0\) | \(\ell>0\) | \(\ell<0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(0\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n\) | \(\ell'\in\mathbb R\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(\pm\infty\) |
\(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n\times v_n\) | \(\ell\times\ell'\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | /!\ /!\ /!\ _-_-_-_-_ |
Attention :
On sera ici vigilant à l'indétermination \(0\times \infty\).
Une méthode assez courante pour lever ce type d'indétermination est de mettre en facteur le terme qui semble prépondérant.
Exemple :
Calculer \(\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{n^2+2}{n}\)
Ce quotient peut d'écrire comme le produit de \(n^2+2\) qui tend vers l'infini et \(\frac{1}{n}\) qui tend vers 0...
En mettant en facteur les terme prépondérant : \(\frac{n^2+2}{n}\) s'écrit\( \frac{n^2\left(1+\frac{2}{n^2}\right)}{n}=n\left(1+\frac{2}{n^2}\right)\)
La forme est cette fois-ci en \(\infty \times \ell ~(\ell>0)\) qui tend vers \(+\infty\). L'indétermination est levée.