Question
Calculer \(\lim\limits_{n \to +\infty} 2-3n^2\)
Solution
On sait (ou on montre facilement que) \(\lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty\).
Donc :
\(\lim\limits_{n \to +\infty} n\times n=+\infty\) (\(+\infty\times +\infty\))
Donc :
\(\lim\limits_{n \to +\infty} -3n^2=-\infty\) (\(\ell<0 \times +\infty\))
Donc :
\(\lim\limits_{n \to +\infty} 2-3n^2=-\infty\) (\(\ell+ -\infty\))
Question
Calculer \(\lim\limits_{n \to +\infty} 2n^2-n\)
Indice
Attention à l'indétermination ! !
Solution
On sait que \(\lim\limits_{n \to +\infty} n^2=+\infty\) donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} 2n^2=+\infty\).
On sait que \(\lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty\). On a donc une forme indéterminée \(\infty-\infty\).
Pour lever l'indétermination, on met le terme prépondérant (ici \(n^2\)) en facteur :
\(2n^2-n=n^2\left(2-\frac{1}{n}\right)\). Le premier facteur tend vers l'infini et le second vers 2. L'indétermination est levée car on a une forme en \(+\infty \times \ell>0\)
\(\lim\limits_{n \to +\infty} 2n^2-n=+\infty\).
Question
Calculer \(\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{n}{n+1}\)
Indice
Attention à l'indétermination ! !
Solution
Ici le numérateur et le dénominateur tendent vers l'infini. On a donc une indétermination du type \(\frac{\infty}{\infty}\) ou \(\infty\times 0\)
Une fois encore, on met le terme prépondérant en facteur :
\(\frac{n}{n+1}=\frac{n}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}\)
L'indétermination est levée après simplification car on a une limite du type \(\frac{\ell}{\ell'}\)
On a donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{n}{n+1}=1\)