Calcul d'intégrale avec une primitive

Pour calculer l'intégrale d'une fonction continue, on applique la propriété suivante :

Méthode

Soit \(f\) une fonction continue positive sur un intervalle [a ;b] et F une primitive de \(f\) sur [a ;b] (n'importe laquelle convient).

Alors \(\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx=F(b)-F(a)\)

Exemple

Calculons \(\displaystyle \int_0^1 x² dx\) :

Pour cela, on détermine une primitive \(F\) de la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x²\). Prenons par exemple \(f(x)=\dfrac{x^3}{3}\).

Alors on obtient que \(\displaystyle \int_0^1x^2\ dx=\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3}\).

On note ce résultat \(\left [\dfrac{x^3}{3}\right ]_0^1\).

Donc on écrit \(\displaystyle \int_0^1 x²\ dx=\left [\dfrac{x^3}{3}\right ]_0^1=\dfrac{1}{3}\).

De même, pour l'intégrale de l'activité d'introduction :

\(\displaystyle \int_0^{1,5} 4-x²\ dx=\left [4x-\dfrac{x^3}{3}\right ]_0^1=4\times1,5 -\dfrac{1,5}{3}=4,875\).