Calcul de primitives

Déterminer une primitive des fonctions f suivantes.

Question

\(f(x)=x^3-4x^2+3x+5\)

Indice

f est une fonction polynôme donc est une somme de fonctions du type \(x^n\)

Solution

\(F(x)=\dfrac{x^4}{4}-4\dfrac{x^3}{3}+3\dfrac {x^2}{2}+5x\)

Question

\(f(x)=\dfrac{5}{x^3}\)

Indice

f est une fonction du type \(\dfrac{1}{x^3}\)

Solution

Le tableau donne \(-\dfrac{1}{2x^2}\)

Reste à ne pas oublier la constante 5 en facteur de la fonction. On a donc \(F(x)=-\dfrac{5}{2x^2}\)

Question

\(f(x)=3\dfrac{\ln x}{x}\)

Indice

\(f\) est le produit de la fonction ln par sa dérivée.

Indice

On reconnaît  \(u'(x)\times u(x)\) avec \(u(x)=\ln x\)

Solution

\(f(x)=3\times u'(x)\times u(x)\) avec \(u(x)=\ln x\)

Or une primitive de \(u'(x)u(x)\) est \(\dfrac{u(x)^2}{2}\)

Donc \(F(x)=\dfrac{3(\ln x)^2}{2}\)

Question

\(f(x)=e^{-3x+1}\)

Indice

Attention au \(e^u\). il faut faire apparaître un u' en facteur pour appliquer la formule.

Indice

\(f(x)=-\dfrac{1}{3}\times (-3)e^{-3x+1}\)

Solution

\(f(x)=-\dfrac{1}{3}\times (-3)e^{-3x+1}\) donc de la forme \(f(x)=-\dfrac{1}{3}\times u'e^u\) où \(u(x)=-3x+1\)

La constante multiplicative se retrouve telle quelle dans la primitive, donc :

\(F(x)=-\dfrac{1}{3}e^{-3x+1}\)

Question

\(f(x)=3xe^{x^2-1}\)

Indice

Essayer de faire apparaître \(u'e^u\)

Indice

\(f(x)=\dfrac{3}{2}\times 2xe^{x^2-1}\)

Solution

\(f(x)=\dfrac{3}{2}\times 2xe^{x^2-1}\) donc \(f(x)=\dfrac{3}{2}\times u'e^u\) avec \(u(x)=x^2-1\)

On peut alors déduire \(F(x)=\dfrac{3}{2}e^{x^2-1}\)

Question

\(f(x)=\dfrac{8x}{(x^2+3)^2}\)

Indice

Essayer de faire apparaître une forme \(\dfrac{u'}{u^2}\)

Indice

\(f(x)=4\times \dfrac{2x}{(x^2+3)^2}\)

Solution

\(f(x)=4\times \dfrac{2x}{(x^2+3)^2}\) donc de la forme \(4\times \dfrac{u'}{u^2}\) avec \(u(x)=x^2+3\)

Or \(\dfrac{u'}{u^2}\) a pour primitive \(\dfrac{-1}{u}\) donc en prenant en compte le 4 en facteur, on a

\(F(x)=\dfrac{-4}{x^2+3}\)