Exercice d'application

Le bénéfice en milliers d'euros d'une production de q kg de produit de beauté est donné par \(f(q)=-3q^2+6q-1,5\).

La production de l'entreprise varie selon les jours de 0 à 2 kg. 

Question

Déterminer la valeur moyenne du bénéfice de l'entreprise.

Indice

On appliquera la formule donnant la valeur moyenne de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0 ;2]\).

Solution

\(m=\dfrac{1}{2-0}\displaystyle \int_0^2 f(q)~ dq\)

Déterminons une primitive de \(f\). C'est un polynôme. On sait donc d'après le cours que :

\(F(q)=-\dfrac{3}{3}q^3+\dfrac{6}{2}q^2-1,5q=-q^3+3q^2-1,5q\)

  • \(F(0)=0\)

  • \(F(2)=-8+3\times 4-3=1\)

donc \(m=\dfrac{1}{2-0}(F(2)-F(0)=\dfrac{1}{2}\)

La valeur moyenne du bénéfice de l'entreprise est donc 500 euros.