Utiliser les vecteurs pour démontrer
Question
Démontrer que DCEF est un parallélogramme.
Indice
Exploiter les symétriques pour mettre en évidence des parallélogrammes et donc des égalités de vecteurs.
Indice
Montrer que \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) et que \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FE}\).
Solution
On sait que [AC] et [BD] se coupent en leur milieu (O) donc ABCD est un parallélogramme.
De là, on en déduit que \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\).
On sait que [AE] et [BF] se coupent en leur milieu (O') donc ABEF est un parallélogramme.
De là, on en déduit que \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{FE}\).
Les vecteurs \(\overrightarrow{DC}\) et \(\overrightarrow{FE}\) sont donc deux représentants du vecteur \(\overrightarrow{AB}\). Ils sont donc égaux.
Puisque \(\overrightarrow{DC}\) =\(\overrightarrow{FE}\), alors on conclut que DCEF est un parallélogramme.
Remarque :
Pour résoudre cet exercice, nous avons utilisé la propriété vue ici à la fois dans le sens direct et dans le sens réciproque. Il est donc important de bien connaître la signification de l'équivalence (si et seulement si).