Question

Quelle est l'abscisse sur la droite numérique d'un point M dont l'image sur le cercle trigonométrique est le point M' tel que

  1. \(\widehat{AOM'}=30°\)

  2. \(\widehat{AOM'}=60°\)

  3. \(\widehat{AOM'}=120°\)

Solution

1. Angle de 30°
Nous avons un tableau de proportionnalité entre les abscisses et les angles

Abscisse du point M sur la droite numérique

\(2\pi\)

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Angle \(\widehat{AOM'}\) en degré

360°

30°

Par conséquent l'abscisse correspondant à un angle de 30° est \(\frac{2\pi\times 30}{360}=\dfrac{\pi}{6}\)

2. Angle de 60°

Pour 60°, par proportionnalité, il suffit de multiplier l'abscisse obtenue précédemment par 2, ce qui donne \(\frac{\pi}{3}\)

3. Angle de 120°

Pour 120°, par proportionnalité, il suffit de multiplier l'abscisse obtenue précédemment par 2, ce qui donne \(\frac{2\pi}{3}\)

Mesure des angles en radians

On voit donc ainsi apparaître une nouvelle unité de mesure des angles. Cette unité est proportionnelle aux degrés et à 360° fait correspondre une mesure de \(2\pi\)

Cette nouvelle unité de mesure est le radian. Elle s'avère pratique car la longueur d'arc sur le cercle trigonométrique est donnée directement par la mesure de l'angle en radians.