Distance dans un repère orthonormé
Bilan de l'activité
L'activité précédente nous a montré comment calculer la distance dans un repère entre un point \(A(x_A ;y_A)\) et un point \(B(x_B ;y_B)\) en s'aidant d'un point intermédiaire C placé de manière à obtenir un triangle Rectangle. Dans l'activité, nous avions choisi \(C(x_B ;y_A)\).
si \(x_B>x_A\) (comme dans l'activité), la distance \(AC\) est connue et égale à \((x_B-x_A)\)
si \(y_B>y_A\) (comme dans l'activité), la distance \(BC\) est connue et égale à \((y_B-y_A)\)
Le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle \(ABC\) peut s'appliquer et nous donne \(AB^2=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2\).
Fondamental : Distance dans un repère orthonormé
Soient \(A(x_A ; y_A)\) et \(B(x_B ;y_B)\) deux points dans un repère orthonormé.
Alors la distance entre les points A et B est \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).
Attention : Gare aux repères quelconques
Pour déterminer cette formule, nous avons appliqué le théorème de Pythagore et supposé que les unités sur l'axes des abscisses et des ordonnées étaient égales.
La formule énoncée ci-dessus n'est donc valable que dans un repère orthonormé.
Exemple :
Soit \(A(-2 ;1)\) et \(B(2 ;4)\) dans un repère orthonormé.
Alors \(AB=\sqrt{(2-(-2))^2+(4-1)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\).