Côtés d'un rectangle dont l'aire est connue
L'aire du rectangle ci-dessous est égale à 1.
Quelles peuvent être les dimensions du rectangle ?
Question
Établir une relation entre les mesures du rectangle. Pour quelles longueurs est-il possible de construire un rectangle ABCD d'aire 1 ?
Indice
On pourra faire quelques essais avec AB=2, AB=3 puis généraliser en posant \(AB=x\).
Solution
Soit x une variable désignant la longueur AB.
On sait que l'aire du rectangle vaut \(AB\times AD=1\).
Par conséquent, on a \(AD=\dfrac{1}{x}\).
Remarque :
Si la longueur AB est nulle, alors le rectangle n'a pas d'aire. La construction est impossible.
On se rend compte que pour x=0, la fonction \(f :x\longmapsto \frac{1}{x}\) n'est pas définie, ce qui est cohérent avec la construction géométrique du départ.
Question
Si la longueur du côté AB augmente, qu'advient t-il de la longueur du côté AD ?
En déduire le sens de variation de la fonction \(f :x\longmapsto \frac{1}{x}\) sur \(]0 ;+\infty[\)
Solution
L'aire du rectangle ABCD étant constante, si on augmente la longueur AB, alors il parait intuitif de dire que la longueur de l'autre coté doit diminuer afin de conserver une surface constante égale à 1.
Par conséquent la fonction \(f :x\longmapsto \frac{1}{x}\) qui représente la longueur du coté AD en fonction du coté AB renverse le sens des inégalités car si \(0<u<v\), alors \(f(u)>f(v)\) (si \(x\) augmente, \(f(x)\) diminue).
On peut donc conjecturer que la fonction \(f :x\longmapsto \frac{1}{x}\) est décroissante sur \(]0 ;+\infty[\).