Définition et exemple
Définition :
Dire qu'une fonction est une fonction homographique signifie qu'il existe des nombres réels \(a,b,c\)\( (c\neq0)\) et \(d\) tels que pour tout nombre réel \(x\) n'annulant pas le dénominateur f s'écrive sous la forme \(f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\).
Il faut aussi exclure de la définition le cas où le dénominateur est un multiple du numérateur, car on a alors une fonction constante. Il faut donc que le tableau suivant ne soit pas un tableau de proportionnalité :
a | b |
c | d |
Donc, on doit avoir \(a\times d \neq c\times b\) (produits en croix non égaux).
Une fonction homographique est définie sur \(\mathbb{R}\) privé de la valeur pour laquelle le dénominateur \(cx+d\) est égal à 0, c'est-à-dire privé de \(\frac{-d}{c}\). Donc son ensemble de définition est \(D_f=]-\infty ;\frac{-d}{c}[\cup]\frac{-d}{c} ;+\infty[\).
Exemple :
Soit f la fonction \(f :x\longmapsto \frac{x-1}{2x+3}\).
La fonction f est une fonction homographique : \(a=1 ; b=-1 ; c=2 ; d=3\).
La valeur interdite pour laquelle le dénominateur s'annule est la solution de l'équation \((E) : 2x+3=0\).
\((E)\Longleftrightarrow 2x=-3\)
\((E)\Longleftrightarrow x=-\frac{3}{2}\)
f est donc définie sur \(]-\infty ;-\frac{3}{2}[\cup]-\frac{3}{2} ;+\infty[\) qui s'écrit également \(\mathbb{R} \backslash \{-\frac{3}{2}\}\) et se lit \(\mathbb{R}\) privé de \(-\frac{3}{2}\)