Soit f définie par \(f :x\longmapsto 3-\frac{4}{2x-\sqrt{2}}\).
Question
Démontrer que f est une fonction homographique.
Préciser son ensemble de définition.
Indice
Montrer que f s'écrit \(f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\) et préciser les valeurs des coefficients \(a,b,c,d\).
Solution
Réduisons l'expression de f au même dénominateur :
\(f(x)=\frac{3(2x-\sqrt{2})-4}{2x-\sqrt{2}}\)
\(f(x)=\frac{6x-3\sqrt{2}-4}{2x-\sqrt{2}}\)
f est donc homographique avec \(a=6\) ; \(b=-3\sqrt{2}-4\) ; \(c=2\) et \(d=-\sqrt{2}\)
f est définie pour tout réel sauf la valeur interdite, solution de l'équation \((E) :2x-\sqrt{2}=0\)
\((E)\Longleftrightarrow 2x=\sqrt{2}\)
\((E)\Longleftrightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
donc l'ensemble de définition de f est \(\left]-\infty ;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right[\cup\left]\dfrac{\sqrt{2}}{2} ;+\infty\right[\).