Existence et unicité d'une décomposition
Fondamental : Propriété
Soient \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) deux vecteurs non colinéaires.
Pour tout vecteur \(\overrightarrow{w}\), il existe un couple unique \((a ;b)\) de nombres réels tels que :
\(\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}\)
On dit que le couple \((\overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v})\) forme une base de vecteurs.
Complément : Démonstration
Existence de la décomposition :
On note O un point du plan. U, V et M sont les points tels que \(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{w}\), \(\overrightarrow{OU}=\overrightarrow{u}\), et \(\overrightarrow{OV}=\overrightarrow{v}\).
La parallèle à (OV) passant par M coupe la droite (OU) en \(M_1\), et la parallèle à (OU) passant par M coupe la droite (OV) en \(M_2\).
\(OM_1MM_2\) est un parallélogramme, donc \(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OM_1}+\overrightarrow{OM_2}\) (1).
Les vecteurs \(\overrightarrow{OM_1}\) et \(\overrightarrow{u}\) sont colinéaires, et \(\overrightarrow{u}\neq\overrightarrow{0}\), donc il existe a tel que \(\overrightarrow{OM_1}=a\overrightarrow{u}\). De même, \(\overrightarrow{OM_2}=b\overrightarrow{v}\).
Finalement,(1) s'écrit \(\overrightarrow{OM}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}\), et donc \(\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}\).
Unicité de la décomposition :
Supposons que \(\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}=a'\overrightarrow{u}+b'\overrightarrow{v}\).
Alors \(a\ \overrightarrow{u}-a'\ \overrightarrow{u}=b\ \overrightarrow{v}-b'\ \overrightarrow{v}\). Ainsi, \((a-a')\ \overrightarrow{u}=(b-b')\ \overrightarrow{v}\).
Or, les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) ne sont pas colinéaires, donc il est nécessaire que a-a'=0 et b-b'=0, donc que a=a' et b=b', ce qui prouve l'unicité de la décomposition.
Fondamental : Corollaire
Théorème :
Soient A, B et C trois points non alignés du plan. Alors pour tout point M, il existe un unique couple de nombres réels \((x ;y)\) tel que \(\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\).
Ce couple \((x ;y)\) est le couple de coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AM}\) dans le repère \((A ;\overrightarrow{AB} ;\overrightarrow{AC}\)).
Exemple :
Dans un triangle ABC, on appelle I le milieu de [BC] et G le centre de gravité.
Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires, donc forment une base. Ainsi, tout vecteur \(\overrightarrow{u}\) peut s'exprimer en fonction de ces deux vecteurs.
Par exemple :
\(\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
En effet, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}\).
Or, I est le milieu de [BC], donc \(\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\).
Donc, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
En effet, \(\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC})\).
Soit : \(\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)