exercice d'alignement
exercice résolu
Soient ABCD un parallélogramme, et les points P et Q tels que \( \overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{AQ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).
Question
Faire un schéma.
Déterminer les coordonnées des points B, C et D dans le repère \((A ;\overrightarrow{AQ}\);\(\overrightarrow{AP}\)).
Démontrer que les points C, P et Q sont alignés.
Solution
\(\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}\) donc \(\overrightarrow{AD}=0\overrightarrow{AQ}+3\overrightarrow{AP}\) et donc D a pour coordonnées \((0 ;3)\).
De même, \(\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AQ}+0\overrightarrow{AP}\), donc B a pour coordonnées \((-2 ;0)\).
Comme ABCD est un parallélogramme, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=-2\overrightarrow{AQ}+3\overrightarrow{AP}\), donc C a pour coordonnées \((-2 ;3)\).
P a pour coordonnées P(0 ;1), donc \(\overrightarrow{CP}\left(\begin{array}{c}0-(-2)\\1-3\end{array}\right)\) soit \(\left(\begin{array}{c}2\\-2\end{array}\right)\).
De même, \(\overrightarrow{CQ}\) a pour coordonnées \(\left(\begin{array}{c}3\\-3\end{array}\right)\).
On obtient donc que \(\overrightarrow{CQ}=\frac{3}{2} \overrightarrow{CP}\) et donc, les vecteurs \(\overrightarrow{CP}\) et \(\overrightarrow{CQ}\) sont colinéaires.
Il en résulte que les points C, P et Q sont alignés.