Vecteurs colinéaires
Rappel :
Deux vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) non nuls sont dits colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que \(\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{v}\) c'est à dire si \(\overrightarrow{u}\) est un "multiple" de \(\overrightarrow{v}\).
Par convention, on dira que le vecteur \(\overrightarrow{0}\) est colinéaire à tout vecteur.
La colinéarité des vecteurs se révèle être un outil très pratique pour démontrer en particulier des situations d'alignement de points. Cela est formalisé dans la propriété suivante :
Fondamental :
Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
Remarque :
La première affirmation est un cas particulier de la seconde lorsque les deux droites parallèles ont un point en commun.
Fondamental : Propriété caractéristique de colinéarité de deux vecteurs
Dans un repère \((O ;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})\), deux vecteurs \(\overrightarrow{u} \left (\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right )\) et \(\overrightarrow{v} \left (\begin{array}{c}x'\\y'\end{array}\right )\) sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées forment un tableau de proportionnalité :
\(x\) | \(x'\) |
\(y\) | \(y'\) |
Donc :
\(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires si et seulement \(x\times y'-y\times x'=0\) (en effet, les produits en croix sont égaux).
Complément : Démonstration
On suppose d'abord que les vecteurs \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires.
Si \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\), alors \(x=0\), et \(y=0\) donc \(xy'-x'y=0\).
idem si \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}\).
Si \(\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}\) et \(\overrightarrow{v}\neq \overrightarrow{0}\), alors il existe un nombre réel \(\lambda\) tel que \(\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{v}\).
\(\lambda \overrightarrow{v}\) a pour coordonnées \((\lambda x' ;\lambda y')\), donc \(x=\lambda x'\) et \(y=\lambda y'\).
Donc \(xy'-x'y=(\lambda x')\times y'-x'\times (\lambda y')=0\)
Réciproquement, supposons que \(xy'-x'y=0\).
Si \(x=0\) et \(y=0\), alors \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\) donc \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires.
Si \(x \neq 0\), alors, comme \(xy'-x'y=0\), \(y'=\frac{x'y}{x}=\frac{x'}{x}y\). Posons \(k=\frac{x'}{x}\). Alors \(y'=k y\) et \(x'=k x\). On peut donc écrire que :
\(\overrightarrow{v}=k \overrightarrow{u}\) et en posant \(\lambda=\frac{1}{k}\), on obtient \(\overrightarrow{u}=\lambda \overrightarrow{v}\).
Donc, \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires.
Si \(y\neq 0\), on procède de même.