La fonction racine carrée
Définition : Fonction carré
La fonction définie sur [0;+∞[, qui à tout nombre réel x positif associe sa racine carrée √x, est appelée fonction racine carrée.
Fondamental : Propriété 1
La fonction f:x⟼√x est strictement croissante sur l'intervalle [0;+∞[.
Définition : Représentation graphique
Dans un repère orthogonal d'origine O, la représentation graphique de la fonction racine carrée est une demi-parabole couchée :
Complément :
Soit f la fonction définie pour tout x∈[0;+∞[ par f(x)=√x.
On se propose d'établir le sens de variation de f sur [0;+∞[.
Pour tous nombres réels a∈[0;+∞[ et b∈[0;+∞[ tels que a>b :
f(a)−f(b)=\sqrt a−\sqrt b=\frac {(\sqrt a-\sqrt b) \times (\sqrt a+\sqrt b)} {\sqrt a+\sqrt b}=\frac{(\sqrt a) ²-(\sqrt b)²} {\sqrt a+\sqrt b}=\frac {a-b} {\sqrt a+\sqrt b}.
Or le dénominateur (\sqrt a+\sqrt b) est un nombre positif, et le numérateur est aussi positif. Il en résulte que f(a)-f(b)>0 si a>b.
La fonction racine carrée est donc strictement croissante sur son intervalle de définition.
Position relatives de trois courbes
Complément :
Pour justifier la position relative des courbes, on peut étudier les signes de :
x²-x en factorisant ;
x-\sqrt{x} en mettant \sqrt{x} en facteur : x-\sqrt{x}=\sqrt{x}(\sqrt{x}-1]. Or \sqrt{x}>0 et \sqrt{x}-1>0 si et seulement si x>1 car la fonction x \longmapsto \sqrt{x} est croissante.