Espérance et Variance de aX+b
Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs \(x_1 ; x_2 ; ... ; x_n\).
Pour tous réels \(a\) et \(b\), on peut définir une autre variable aléatoire, en associant à chaque issue donnant la valeur \(x_i\), le nombre \(ax_i + b\).
On note cette variable aléatoire \(aX + b\).
Fondamental :
\(E(aX+b)=aE(X)+b\)
\(V(aX)=a^2V(X)\)
Exemple : Reprenons l'exemple précédent sur le lancé d'un dé
La loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\) était donc donnée par le tableau :
\(x_i\) | -2 | 0,5 | 1 |
\(P(X=x_i)\) | \(\dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{1}{6}\) | \(\dfrac{1}{2}\) |
Nous avions \(E(X)=\dfrac{-1}{12}\) et \(V(X)=\dfrac{269}{144}\)
Pour rendre équitable le jeu (donc d'avoir une espérance nulle), on peut choisir de multiplier par 12 toutes les sommes et leur ajouter 1, de sorte d'obtenir :
yi | -23 | 7 | 13 |
|---|---|---|---|
P(Y=yi) | \(\dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{1}{6}\) | \(\dfrac{1}{2}\) |
L'espérance de Y est donc \(E(Y)=E(12X+1)=12~E(X)+1=12\times\dfrac{-1}{12}+1=0\).
La variance peut être calculée ainsi :
\(Var(Y)=\dfrac{1}{3} \times (-23)²+\dfrac{1}{6} \times 7²+\dfrac{1}{2}\times 13²-0²=269\). On constate bien que \(Var(Y)=12^2Var(X)\)
Complément : Démonstration de ces résultats
Pour l'espérance :
\(\begin{aligned}[t]E\left( {aX + b} \right) &= {p_1}\left( {a{x_1} + b} \right) +{p_2}\left( {a{x_2} + b} \right) + ... + {p_n}\left( {a{x_n} + b} \right) \\&= a{p_1}{x_1} + b{p_1} + a{p_2}{x_2} + b{p_2} + ... + a{p_n}{x_n} + b{p_n}\\&= a{p_1}{x_1} + a{p_2}{x_2} + ... + a{p_n}{x_n} + b{p_1} + b{p_2} + ... + b{p_n}\\&= a\left( {{p_1}{x_1} + {p_2}{x_2} + ... + {p_n}{x_n}} \right) + b\left( {{p_1} + {p_2} + ... + {p_n}} \right)\\&= aE\left( X \right) + b \times 1 \\E\left( {aX + b} \right)&= aE\left( X \right) + b\end{aligned}\)
Pour la variance :
D'après la seconde formule de la variance :
\(V\left( {aX} \right) = {p_1}{\left( {a{x_1}} \right)^2} + {p_2}{\left( {a{x_2}}\right)^2} + ... + {p_n}{\left( {a{x_n}} \right)^2} - {\left[ {E\left( {aX}\right)} \right]^2}\)
Or d'après la formule précédente: \(E\left( {aX} \right) = aE\left( X \right)\), donc :
\(\begin{aligned}V\left( {aX} \right) &= {p_1}{a^2}{x^2}_1 + {p_2}{a^2}{x^2}_2 +... +{p_n}{a^2}{x^2}_n - {\left[ {aE\left( X \right)} \right]^2}{\rm{ }}\\&= {a^2}\left( {{p_1}{x^2}_1 + {p_2}{x^2}_2 + ... +{p_n}{x^2}_n} \right) - {a^2}{\left[ {E\left( X \right)} \right]^2}\\&= {a^2}\left( {{p_1}{x^2}_1 + {p_2}{x^2}_2 + ... + {p_n}{x^2}_n -{{\left[ {E\left( X \right)} \right]}^2}} \right)\\V\left( {aX} \right) &= {a^2}V\left(X \right)\end{aligned}\)
Remarque :
\(V\left( {aX + b} \right) = {a^2}V\left( X \right)\) et \(\sigma \left( {aX + b} \right) = \left| a \right|\sigma \left( X \right)\)
Complément : Démonstration
\(\begin{aligned}[t]V\left( {aX + b} \right) &= \sum\limits_{i = 1}^{i = n}{{p_i}{{\left( {a{x_i} + b - E\left( {aX + b} \right)}\right)}^2}}\\&= \sum\limits_{i = 1}^{i = n} {{p_i}{{\left({a{x_i} + b - aE\left( X \right) - b} \right)}^2}}\\&= \sum\limits_{i = 1}^{i = n}{{p_i}{{\left( {a{x_i} - aE\left( X \right)} \right)}^2}}\\&= \sum\limits_{i = 1}^{i = n} {{p_i}{a^2}{{\left( {{x_i} -E\left( X \right)} \right)}^2}}\\V\left( {aX + b} \right) &= {a^2}V\left( X \right)\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t]\sigma \left( {aX + b} \right) &= \sqrt {V\left( {aX + b}\right)}\\&= \sqrt {{a^2}V\left( X \right)} = \left| a \right|\sqrt{V\left( X \right)}\\\sigma \left( {aX + b} \right)&= \left| a \right|\sigma \left( X \right)\end{aligned}\)