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Un coiffeur se déplace à domicile. On note \(X\) le nombre de rendez-vous sur une journée.

La loi de probabilité de \(X\) est donnée par le tableau ci-dessous.

Loi de probabilité de X

\(x_i\)

0

1

2

3

4

5

\(p(X=x_i)\)

0,03

0,09

0,15

0,38

0,18

0,17

Chaque rendez-vous lui rapporte 30 euros, et ses frais de fonctionnement quotidiens s'élèvent à 15 euros.

On note \(Y\) son gain journalier.

Question

Calculer \(E(X)\).

Solution

\(\begin{aligned}[t]E\left( X \right) &= 0,03 \times 0 + 0,09 \times 1 + 0,15 \times 2 + 0,38 \times 3 + 0,18\\& \phantom{0,03 \times 0 + 0,09 \times 1 + 0,15 \times 2 + 0,38} \times 4 + 0,17 \times 5\\E\left( X \right) & = 3,1\end{aligned}\)

Question

Quelle relation lie X et Y ?

Solution

Le gain journalier \(Y\) est tel que \(Y = 30X - 15\).

Question

En déduire \(E(Y)\). Interpréter ce résultat.

Solution

\(\begin{aligned}[t]E\left( Y \right) &= E\left( {30X - 15} \right)\\& = 30E\left( X \right) - 15\\& = 30 \times 3,1 - 15 \\& = 93 - 15\\E\left( Y \right) & = 78 \text{ (en euros).}\end{aligned}\)

Ainsi, le coiffeur peut espérer gagner 78 euros en moyenne par jour.