Signe des polynômes du second degré
Soit \(f(x)=ax^2+bx+c \) avec \(a≠0\) un polynôme du second degré et \(\Delta\) son discriminant.
En utilisant le tableau précédent et en observant la position de la parabole par rapport à l'axe des abscisses, on obtient la propriété suivante :
Fondamental : Signe du trinôme
Si \(\Delta > 0\), \(f\) est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe opposé à \(a\) entre les racines.
Si \(\Delta=0\), \(f\) est toujours du signe de \(a\) (et s'annule uniquement en \(\alpha\)).
Si \(\Delta < 0\), \(f\) est toujours (strictement) du signe de \(a\).
Exemple :
Signe de \(f(x)=-2x²+x-4\) :
On a \(a=-2\) donc \(a<0\),
\(\Delta=1²-4\times (-2)\times (-4)=1-32=-31\). \(\Delta<0\) donc il n'y a pas de racines.
\(f(x)\) est donc toujours strictement du signe de \(a\) donc toujours strictement négatif.
Exemple :
Signe de \(f(x)=x^2+4x-5\)
On a \(a=1\) donc \(a > 0\)
\(\Delta=4^2-4\times 1\times (-5)=16+20=36\). \(\Delta>0\), donc il y a deux racines :
\(x_1=\frac{-4-\sqrt{36}}{2}=\frac{-4-6}{2}=-5\) et \(x_2=\frac{-4+\sqrt{36}}{2}=\frac{-4+6}{2}=1\)
\(f(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines et du signe opposé entre les racines. On en déduit le tableau de signes suivant :
