Espérance de la loi uniforme

Soit \(X \hookrightarrow \mathcal U[a ;b]\) et \(f(x)\) la fonction densité associée, on se souvient que \(\mathbb E(X)=\displaystyle \int_a^b x~f(x)~dx\)

Par conséquent, \(\mathbb E(X)=\displaystyle \int_a^b ~\dfrac{x}{b-a}~dx=\left[\dfrac{x^2}{2(b-a)}\right]_a^b\)

Donc \(\mathbb E(X)=\dfrac{b^2-a^2}{2(b-a)}=\dfrac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)}=\dfrac{b+a}{2}\)

Fondamental

Soit \(X \hookrightarrow \mathcal U[a ;b]\).

Alors son espérance est donnée par la formule \(\mathbb E(X)=\dfrac{b+a}{2}\)

Complément

Cette espérance s'interprète comme étant la valeur moyenne de la variable aléatoire lorsque l'on répète l'expérience un grand nombre de fois.

Exemple

Dans l'exercice précédent, le temps d'attente moyen du bus peut s'interpréter comme l'espérance de la variable aléatoire \(X \hookrightarrow \mathcal U[0 ;15]\). C'est donc \(\mathbb E(X)=\dfrac{0+15}{2}=7,5\)

Par conséquent, le temps d'attente moyen du bus est estimé à 7 minutes 30.