Loi normale
Définition :
Dire qu'une variable aléatoire continue \(X\) suit une loi normale d'espérance \(\mu\) et d'écart type \(\sigma\) signifie que la variable aléatoire continue \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\) suit la loi normale centrée réduite.
On note alors \(X\hookrightarrow \mathcal N(\mu ;\sigma^2)\).
Fondamental : Espérance et écart-type
Si une v.a. \(X\) suit une loi normale \( \mathcal N(\mu ;\sigma^2)\), alors l'espérance de \(X\) vaut \(E(X)=\mu\) et sa variance vaut \(V(x)=\sigma²\) et son écart-type \(\sigma(X)=\sqrt{\sigma²}\).
Attention :
Lorsqu'on écrit qu'une v.a \(X\) suit une loi normale \(\mathcal N(40 ;5)\), cela signifie que la valeur moyenne (espérance) de \(X\) vaut \(E(X)=40\) et 5 désigne sa variance, donc \(\sigma(X)=\sqrt{5}\).
Complément :
Si \(X\hookrightarrow \mathcal N(\mu ;\sigma^2)\) la fonction densité associée à \(X\) est :
\(g(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\ e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\)
La connaissance de cette fonction n'est pas un attendu du programme.
Méthode : Utilisation de la calculatrice pour calculer P(a<X<b)
Pour casio et TI cf ici [PDF]
Exemple : Poids à la naissance
La masse en kg des nouveaux nés à la naissance est une variable aléatoire qui peut être modélisée par une loi normale de moyenne μ = 3,3 et d'écart-type σ = 0,5. Calculer la probabilité qu'un nouveau né pèse moins de 2,5 kg à la naissance.
Résolution :
méthode 1 :
La probabilité qu'un nouveau né pèse moins de 2,5 kg à la naissance est donc : \(P(X< 2,5)\).
La variable \(Z=\frac{X-3,3}{0.5}\) suit la loi normale centrée réduite : \(Z\hookrightarrow \mathcal N(0 ;1)\)
On a alors \(P(X<2,5)=P(X-3,3<2,5-3,3)=P\left(\frac{X-3,3}{0,5}<\frac{2,5-3,3}{0,5}\right)\)
Ce qui donne \(P(X<2,5)=P(Z<-1,6)\).
On peut calculer cette valeur de deux façons :
\(P(Z<-1,6)=\frac{1-P\left(-1,6<Z<1,6\right)}{2}\) :
En utilisant l'astuce consistant à remplacer \(-\infty\) par -10^99 avec la calculatrice.
La probabilité cherchée est donc égale à 0,055 à \(10^{-3}-\) près.
méthode 2 :
La calculatrice permet aussi directement de calculer \(P(X<2,5)\) !
Simulation : Influence des paramètres et intervalles "un, deux et trois sigma"
Faire varier les paramètres espérance et écart type et observer le comportement de la courbe de la fonction densité de la loi normale.
En faisant varier a, on observera le pourcentage de valeur dans les intervalles "un, deux et trois sigmas".
De manière analogue à la loi normale centrée réduite, on constate que :
\(P\left(\mu-\sigma\leqslant X\leqslant \mu+\sigma\right)\approx 0,68\)
\(P\left(\mu-2\sigma\leqslant X\leqslant \mu+2\sigma\right)\approx 0,956\)
\(P\left(\mu-3\sigma\leqslant X\leqslant \mu+3\sigma\right)\approx 0,997\)
Remarque :
Par conséquent, cela signifie que la probabilité d'avoir une valeur de \(X\) distante de plus de \(3\sigma\) de l'espérance \(\mu\) est pratiquement nulle.