Espérance, variance et écart-type d'une variable aléatoire
Définition : Espérance
On considère une variable aléatoire X dont la loi de probabilité P est donnée par le tableau :
xi | x1 | x2 | x3 | ..... | xn |
P(X=xi) | p1 | p2 | p3 | ..... | pn |
On appelle espérance mathématique de X le nombre réel :
\(E(X)=\displaystyle \sum \limits_{i=1}^n p_i x_i=\displaystyle \sum \limits_{i=1}^n P(X=x_i)\ x_i=p_1x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3 + ..... + p_n x_n\)
Exemple : Reprenons l'exemple précédent...
La loi de probabilité de la variable aléatoire X était donnée par le tableau :
xi | -2 | 0,5 | 1 |
P(X=xi) | \(\dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{1}{6}\) | \(\dfrac{1}{2}\) |
L'espérance se calcule alors ainsi :
\(E(X)=\dfrac{1}{3}\times (-2)+\dfrac{1}{6}\times 0,5+\dfrac{1}{2}\times 1=\dfrac{-4}{6}+\dfrac{0,5}{6}+\dfrac{3}{6}=\dfrac{-0,5}{6}=\dfrac{-1}{12}\)
Concrètement, elle signifie que si on joue un très grand nombre de fois à ce jeu, en moyenne, on perd \(\dfrac{1}{12}\) d'euro par partie.
Complément : Interprétation
Pour une expérience donnée dans le modèle défini par une loi de probabilité d'une variable aléatoire X, la moyenne des résultats obtenus sur des séries de taille N se rapproche de l'espérance mathématique lorsque N devient grand, c'est à dire que si on renouvelle un grand nombre de fois l'expérience aléatoire, la moyenne des résultats obtenus se rapproche de l'espérance mathématique.
L'espérance mathématique peut s'interpréter comme la valeur moyenne que l'on peut espérer obtenir par la variable aléatoire lorsque l'on répète un grand nombre de fois l'expérience.
Dans l'exemple précédent, l'espérance mathématique est négative. On peut donc penser que le joueur qui répétera le jeu un grand nombre de fois sera perdant en fin de compte.
Définition :
Pour la variable aléatoire X définie ci-dessus, on appelle variance de X le nombre réel positif suivant :
\(Var(X)=\displaystyle \sum \limits_{i=1}^n p_i \left( x_i-E(X) \right )²=\displaystyle \sum \limits_{i=1}^n P(X=x_i)\ \left( x_i-E(X) \right )²\\ \hspace{1.5cm}=p_1(x_1-E(X))² + p_2( x_2-E(X))² + p_3( x_3-E(X))² + ..... + p_n( x_n-E(X))²\)
L'écart-type de X est le nombre noté \(\sigma (X)=\sqrt{Var(X)}\).
Exemple : Reprenons encore une fois l'exemple précédent...
La variance se calcule ainsi :
\(Var(X)=\dfrac{1}{3}\times \left(-2-\left(-\dfrac{1}{12}\right)\right)^2+\dfrac{1}{6}\times \left(0.5-\left(-\dfrac{1}{12}\right)\right)^2+\dfrac{1}{2}\times \left(1-\left(-\dfrac{1}{12}\right)\right)^2=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{-23}{12}\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{7}{12}\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{13}{12}\right)^2=\dfrac{269}{144} \).
Et donc :
\(\sigma(X)=\sqrt{\dfrac{269}{144}}=\dfrac{\sqrt{269}}{12}\).