Somme, produit et quotient de limites
On considère deux fonctions \(f\) et \(g\) dont on connaît les limites en l'infini ou en un point.
\(\ell\) et \(\ell'\) désignent les limites éventuelles.
Fondamental : Limite d'une somme
\(\lim f\) | \(\ell\in\mathbb R\) | \(\ell\in\mathbb R\) | \(\ell\in\mathbb R\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
\(\lim g\) | \(\ell'\in\mathbb R\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) |
\(\lim f+g\) | \(\ell+\ell'\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
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Fondamental : Limite d'un produit
\(\lim f\) | \(\ell\in\mathbb R\) | \(\ell>0\) | \(\ell<0\) | \(\ell>0\) | \(\ell<0\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(0\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
\(\lim g\) | \(\ell'\in\mathbb R\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(\pm\infty\) |
\(\lim f\times g\) | \(\ell\times\ell'\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
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Fondamental : Limite d'un inverse
\(\lim f\) | \(\ell \neq 0\) | \(\pm\infty\) | 0 avec \(f>0\) | 0 avec \(f<0\) |
|---|---|---|---|---|
\(\lim \frac{1}{f}\) | \(\frac{1}{\ell}\) | \(0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
Complément :
Connaissant le comportement du produit et de l'inverse, on en déduit le comportement de la limite d'un quotient, ce dernier pouvant être considéré comme le produit d'une limite par l'inverse de l'autre : \(\frac{f(x)}{g(x)}=f(x)\times \frac{1}{g(x)}\)
Attention : Formes indéterminées
Dans certains cas, les tableaux ci-dessus ne permettent pas de conclure. Ces cas sont signalés par le pictogramme 
. Ce sont des formes indéterminées dans la mesure où le résultat peut être n'importe quelle valeur.
On les retient souvent sous la forme condensée :
\(\infty-\infty\)
\(0\times \infty\)
\(\frac{\infty}{\infty}\)
\(\frac{0}{0}\)