Théorèmes de comparaison

Les théorèmes suivants sont très pratiques pour calculer une limite d'une fonction compliquée en la comparant à des fonctions plus simples dont on connaît la limite.

FondamentalThéorème de comparaison

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur un intervalle \(I\) voisinage de α, α étant un réel, \(+\infty\) ou \(-\infty\)

Si :

  • Pour tout \(x\in I, f(x)\geqslant g(x)\)

  • \(\lim\limits_{x \to \alpha} g(x)=+\infty\)

Alors \(\lim\limits_{x \to \alpha} f(x)=+\infty\)

Si :

  • Pour tout \(x\in I, f(x)\leqslant g(x)\)

  • \(\lim\limits_{x \to \alpha} g(x)=-\infty\)

Alors \(\lim\limits_{x \to \alpha} f(x)=-\infty\)

FondamentalThéorème des gendarmes

Soit \(f\) , \(g\) et \(h\) trois fonctions définies sur un intervalle \(I\) voisinage de α, α étant un réel, \(+\infty\) ou \(-\infty\)

Si :

  • Pour tout \(x\in I\), \(h(x)\leqslant f(x)\leqslant g(x)\)

  • \(\lim\limits_{x \to \alpha} h(x)=\lim\limits_{x \to \alpha} g(x)=\ell\)

Alors \(\lim\limits_{x \to \alpha} f(x)=\ell\)