Dérivée d'une racine
Dérivée d'une racine
Définition :
Si \(x\longmapsto U(x)\) est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors \(x\longmapsto \sqrt{U(x)}\) est dérivable sur I et on a :
La dérivée d'une fonction de la forme \(\sqrt U\) est égale à \(\frac{U'}{2\sqrt{U}}\).
Exemple :
\(f\) est dérivable sur tout intervalle où \(5x^2-7>0\) donc sur \(\left]-\infty ;-\sqrt {\frac{7}{5}}\right[\cup\left]\sqrt {\dfrac{7}{5}} ;+\infty\right[\)
La dérivée de \(f(x) = \sqrt{5x^2-7}\) est
\(f'(x) = \frac{10x}{2\sqrt{5x^2-7}}\)
On pose \(U(x)=5x^2-7\) donc \(U'(x)=10x\)