Positivité

FondamentalPropriété de positivité

Soit f une fonction continue positive sur un intervalle \([a ;b]\).

Alors \(\displaystyle \int_a^b f(x)~dx \geqslant 0\)

En d'autre termes, l'intégrale d'une fonction positive sur un intervalle est positive, ce qui est logique dans la mesure où elle s'interprète comme une aire (voir le début du cours).

ComplémentDémonstration

Soit \(F\) une primitive de \(f\).

La fonction F est croissante car sa dérivée \(f\) est positive !

\(F\) conserve donc les inégalités. Puisque \(b\geqslant a,~ F(b) \geqslant F(a)\) donc \(\displaystyle \int_a^b f(x)~dx =F(b)-F(a)\geqslant 0\)

De cette propriété se déduit la suivante :

FondamentalL'intégrale conserve les inégalités des fonctions.

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur un intervalle \([a ;b].\)

Si pour tout \(x\in [a ;b],~f(x)\leqslant g(x)\), alors \(\displaystyle \int_a^b f(x)~ dx \leqslant \displaystyle \int_a^b g(x)~ dx\)

Complément

Cette propriété se démontre en utilisant la propriété de positivité sur la fonction \(g(x)-f(x)\) qui est positive.

Exemple

Déterminer sans calculatrice le signe de \(\displaystyle \int_{-2}^0 e^x+e^{-x}~ dx\)

\(e^x\) et \(e^{-x}\) sont toutes deux positives sur\( [-2 ;0]\) donc puisque \(-2<0,~ \displaystyle \int_{-2}^0 e^x+e^{-x}~ dx>0\)

On peut faire une vérification à l'aide de la calculatrice.