Existence de primitives
Peut-on toujours calculer une primitive ? Sous quelles conditions existent-elles ? La propriété suivante fixe un premier critère très simple.
Fondamental : Primitive d'une fonction continue (admis dans le cas général)
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
Complément :
En effet, on a vu dans la partie précédente que la fonction \(F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t)~dt\) est une primitive de f sur \([a ;b]\).
Attention :
Même si on est assuré dans le cas d'une fonction continue de l'existence d'une primitive, nous ne sommes pas toujours en capacité de l'expliciter à l'aide des fonctions usuelles que nous connaissons. Pour certaines fonctions, même parfois simples, nous n'avons pas possibilité de donner une primitive à l'aide de nos fonctions usuelles.
Exemple : \(x\longmapsto e^{-x^2}\) admet des primitives mais nous ne pouvons les expliciter au moyen des fonctions usuelles que nous connaissons.
Contrairement au processus de dérivation qui permet toujours d'obtenir la dérivée d'une fonction lorsqu'elle existe, le calcul de primitive est moins évident et n'aboutit pas toujours à un résultat.