Recherche de l'exposant
Il arrive que pour d'autres équations, l'inconnue soit en exposant. En voici une situation concrète :
Une production est fonction de l'investissement \(x\) en milliers d'euros. La quantité produite \(f(x)\) en tonnes est modélisée par la fonction \(f(x)=10\times 1,03^x-14\).
La production n'est réelle que lorsque l'investissement \(x\) est tel que \(f(x)>0\). Quelle quantité d'argent doit-on investir pour que la production démarre ?
Méthode : Résolution d'une inéquation avec l'inconnue en exposant
On est amené à résoudre l'inéquation \(10\times 1,03^x-14>0\). En isolant l'inconnue dans le membre de gauche, l'inéquation se ramène à
\(1,03^x>1,4\).
Utilisons le fait que la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur \(\mathbb R^+\) et prenons le logarithme des deux membres. L'inégalité ne change pas de sens.
\(\ln 1,03^x>\ln 1,4\) ce qui revient à \(x\ln1,03>\ln1,4\)
Avant de diviser par \(\ln 1,03\), on s'assure que ce dernier est bien positif : c'est vrai car \(1,03>1\) ! L'inégalité ne va donc pas changer de sens.
Donc, \(x>\dfrac{\ln 1,4}{\ln 1,03}\approx 11,383\)
Par conséquent, l'entreprise devra investir au minimum 11383 euros afin que la production puisse démarrer.