Continuité et dérivabilité
Fondamental : Continuité et dérivabilité de la fonction logarithme népérien (admis)
La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur \(]0 ;+\infty[\).
Complément :
On conçoit en effet que la fonction exponentielle étant continue, la fonction logarithme dont la courbe se déduit par symétrie ne pose pas de soucis de continuité également.
Il n'y a pas de soucis de dérivabilité non plus car la courbe de la fonction exponentielle n'admet pas de tangente horizontale ni de "cassure", et donc par symétrie celle du logarithme n'a pas par conséquent de tangente verticale ni de cassure non plus.
Fondamental : Dérivée de la fonction logarithme
La dérivée de la fonction logarithme népérien sur \(]0 ;+\infty[\) est la fonction inverse :
Si \(f(x)=\ln (x)\), alors \(f'(x)=\dfrac{1}{x}\)
Complément : Démonstration
Posons \(f(x)=e^{\ln x}\) pour tout \(x\in ]0 ;+\infty[\)
On sait d'après la dérivée de l'exponentielle d'une fonction que \(f'(x) =\ln '(x) e^{\ln x}\)
Comme \(e^{\ln x}=x\), \(f'(x)=\ln '(x) x\).
Mais on peut aussi dire directement que \(f(x)=x\) donc \(f'(x)=1\).
Par conséquent, \(f'(x)=\ln '(x)~ x=1\) donc \(\ln'(x)=\dfrac{1}{x}\).