Détermination d'une fonction affine

Exemple : Consigne

On considère une fonction affine dont les valeurs suivantes sont connues :

x	-1	2
\(f(x)=ax+b\)	-2	4

Déterminer les coefficients a et b.

Cas général

Soient \(x_1\) et \(x_2\) deux réels distincts. On a les deux égalités suivantes :

\((E_1) :f(x_1)=ax_1+b\)
\((E_2) : f(x_2)=ax_2+b\)

En faisant la différence membre à membre de ces deux égalités, on obtient une équation dans laquelle b s'élimine

\((E_1)-(E_2) : f(x_1)-f(x_2)=ax_1+b-(ax_2+b)=ax_1-ax_2+b-b=a(x_1-x_2)\).

En divisant par \(x_1-x_2\) non nul, on obtient une expression de a : \(a=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\).

Cette méthode consiste à résoudre le système de deux équations à deux inconnues :

\(\left\{\begin{matrix}a\times x_1+b=f(x_1) \\a\times x_2+b=f(x_2)\end{matrix}\right.\) où les inconnues sont a et b.

Méthode :

Le coefficient directeur a s'obtient facilement par la formule démontrée ci-dessus :

\(a=\frac{-2-4}{-1-2}=\frac{-6}{-3}=2\)

Connaissant a=2, on choisit n'importe quelle valeur connue de f pour calculer b.

\(f(2)=4=2\times2+b\). Cette équation en b se résout facilement :

\(b=4-4=0\)

Conclusion : \(f(x)=2x\). C'est une fonction linéaire.

Remarque :

En remarquant dès le départ que le tableau de valeurs de \(f\) est un tableau de proportionnalité, on aurait pu affirmer directement sans calculs que \(f\) est une fonction linéaire donc que \(b=0\).