Exercice
Une urne contient 80 billes rouges et 20 billes vertes. On prélève cinq fois de suite avec remise une bille de l'urne. On note X la variable aléatoire comptant le nombre de billes rouges.
Question
En calculant au moyen de la formule successivement P(X=0), P(X=1), ..., P(X=5), retrouver la valeur de l'espérance de X que nous avons obtenue au paragraphe précédent.
Indice
On utilise la formule \(P(X=k)={n \choose k} p^k(1-p)^{n}\) avec p=0,8 et n=5.
Solution
\(p(X=0)={5 \choose 0 }\times 0,8^0 \times 0,2^5=0,00032\)
\(p(X=1)={5 \choose 1 }\times 0,8^1 \times 0,2^4=0,0064\)
\(p(X=2)={5 \choose 2 }\times 0,8^2 \times 0,2^3=0,0512\)
\(p(X=3)={5 \choose 3 }\times 0,8^3 \times 0,2^2=0,2048\)
\(p(X=4)={5 \choose 4 }\times 0,8^4 \times 0,2^1=0,4096\)
\(p(X=5)={5 \choose 5 }\times 0,8^5 \times 0,2^0=0,32768\)
\(E(X)=0,00032\times 0+0,0064\times 1+0,0512\times 2+0,2048\times 3+0,4094\times 4+0,32768\times 5=4\)
On retrouve bien le résultat attendu \(n\times p=5\times 0,8=4\).