Combiner les formules
On peut avoir des cas plus délicats à résoudre qui font intervenir plusieurs formules à la fois.
En voici quelques exemples.:
Exemple : Produit et puissance
On veut dériver \(f(x)=3x(x+1)^5\).
On doit ici utiliser deux formules : \(U \times V\) et \(U^n\).
On pose :
\(U(x)=3x\) donc \(U'(x)=3\)
\(V(x)=(x+1)^5\) donc \(V'(x)=5(x+1)^4\)
C e qui donne :
\(f'(x)=3(x+1)^5+(3x)(5(x+1)^4)\)
donc \(f'(x)=3(x+1)^4((x+1)+5x)\) (on a mis \(3(x+1)^4\) en facteur).
Donc \(f'(x)=3(x+1)^4(6x+1)\).
Exemple : Produit et racine
On veut calculer la dérivée suivante : \(f(x)=x\sqrt x\) pour \(x >0\).
On a donc ici un produit et une racine.
On pose :
\(U(x)=x\) donc \(U'(x)=1\)
\(V(x)=\sqrt x\) donc \(V'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}\)
Donc :
\(f'(x)=1\times\sqrt x+x\times\frac{1}{2\sqrt x}\)
\(f'(x)=\sqrt x+\frac{x}{2\sqrt x}\) et donc \(f'(x)=\sqrt x+\frac{\sqrt x}{2}\) en simplifiant par \(\sqrt x\) et donc \(f'(x)=\frac{3}{2}\sqrt x\).